Jugando a ser Gauss

Dicen que el profesor de Gauss mandó a sus alumnos que sumaran todos los números del 1 al 100 como una forma de tenerlos callados y entretenidos. Al cabo de unos instantes, para sorpresa del profesor, Gauss le dio la respuesta correcta.

Sumant números del 1 al 100

¿Cómo lo hizo? La respuesta… al final de este artículo. Mientras, ¡juguemos a ser Gauss!

¿Quién fue Gauss?

Johann Carl Friedrich Gauss es uno de los matemáticos más notables que ha existido.

Hizo descubrimientos significativos en muchos campos, incluyendo la teoría de números, la estadística, el análisis, la geometría diferencial, la geodesia, la electroestática, la astronomía y la óptica.

Fue también un niño prodigio, y hay muchas anécdotas respecto a su precocidad. Y aquí comienza nuestra historia…

Gauss, retrat publicat a Astronomische Nachrichten (1828). Extret de Wikipedia (al 50)

Gauss, retrato publicado en Astronomische Nachrichten (1828). Extraido de Wikipedia

Un entretenimiento, jugando a ser Gauss

Me entretenía sumando 1+ 2 = 3, más 4 = 10, más 5 =15, más 6 = 21, más 7 = 28… y me llamó la atención que todas las sumas podían ser el resultado del producto de dos números:

  • 10 = 5*2
  • 15 = 5*3
  • 21 = 7*3
  • 28 = 7*4

y que mientras un factor se iba repitiendo, el otro crecía en 1 o dos unidades alternativamente.

Me pregunté cómo sería la representación de la distancia entre estos números. ¡Manos a la obra!

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He marcado con una redonda roja el número que sumamos. Con unos topos negros, los dos números cuyo producto es igual a la suma.

Si observamos un poco…

… podremos darnos cuenta de que cuando sumamos un número impar, éste coincide con el factor más alto. Cuando es par, no.

Separándolo por sumandos pares e impares tenemos:

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Ahora vemos claro que:

  • cuando sumamos un número impar,
    • coincide con el mayor de los dos factores. Por ejemplo, cuando sumamos +7, el resultado es 28, que es el resultado de 4 x 7 (el número más alto coincide con lo que sumamos)
    • el factor menor es igual a la mitad del número siguiente al que sumamos. Por ejemplo, cuando sumamos +7, el factor más pequeño es (7+1)/2 = 4
  • cuando sumamos un número par,
    • siempre es una unidad menor que el factor más grande. Por ejemplo, cuando sumamos +8, el factor mayor es 9.
    • El factor más pequeño es la mitad que el número que sumamos. Por ejemplo, cuando sumamos +8, el factor más pequeño es 8/2 = 4.

Esto nos permite hacer un cálculo de la suma sólo sabiendo cuál es el número que sumamos y si es par o impar.

Si el número ‘n’ que sumamos es:

  • impar, el valor de la suma será: n x (n+1)/2
  • par, el valor de la suma será: (n+1) x n/2

¡Ya tenemos un método para calcularlo al momento!

Pero si nos fijamos un poco, ¡las dos fórmulas son la misma!

  • impar: n x (n+1)/2 = [n x (n+1)] / 2
  • par: (n+1) x n/2 = [(n+1 ) x n] / 2

O sea, la suma de una serie de números del 1 al n es la mitad del número n multiplicado por lo siguiente: [n x (n+1)] / 2. Esta fórmula también la podemos expresar como: (n/2) x (n+1)

Bueno, resulta que ¡hemos descubierto la rueda! Parece ser que és una fórmula conocida desde el siglo VII. Pero el camino ha sido entretenido, ¿verdad?

¿Cómo lo resolvió Gauss?

Parece ser que Gauss se fijó en que si emparejaba los números del comienzo con los del final,

  • 1+100 = 101
  • 2+99 =101
  • 3+98 = 101
  • 50+51 = 101

tenía 50 sumandos de 101, o sea 50 x 101 = 5.050, que es la respuesta correcta.

Fijémonos que, en el fondo, la fórmula aplicada es exactamente  (n/2) x (n+1) que ya hemos visto, que es la fórmula que hemos deducido en nuestro entretenimiento.

Otra forma de mirarlo

Si el problema matemático tratamos de resolverlo visualmente, lo veremos muy claro y rápido: 50 columnas de 101. Es exactamente la forma en que lo resolvió Gauss.

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¿Historia o ficción?

Hay muchas versiones sobre la historia de Gauss y no se sabe con absoluta certeza si fue, ni cómo fue. Un artículo excelente, muy interesante y completo al respecto lo encontrará en: Toda la verdad sobre la anécdota de Gauss, el niño prodigio, su profesor y la suma de 1 a 100..

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